Dans deux précédents articles, nous avons traité des options. Le premier était destiné à présenter ce produit dérivé, le second entrait plus en détails dans la technicité, avec les stratégies d’options, le calcul de la valeur d’une option et la parité put-call.
Cet article a pour but de présenter deux principales méthodes pour pricer une option, à savoir la méthode binomiale et le pricing de Black & Scholes.

Le modèle binomial
Le modèle binomial de pricing des options est une technique qui fait l’hypothèse qu’à chaque période, l’action sous-jacente ne peut avoir que deux valeurs différentes. Pour représenter cela, on utilise ce qu’on appelle un arbre binomial, c’est-à-dire une succession d’enchaînement de deux branches qui représentent les évolutions possibles de prix.
Le modèle binomial se base, pour son calcul, sur un portefeuille réplicatif, c’est-à-dire un portefeuille qui est constitué d’une action et d’un bond sans risque qui ont, à chaque période, la même valeur et le même rendement qu’une option qui porterait sur la même action. Grâce à la loi du prix unique, l’option et le portefeuille réplicatif sont censés avoir la même valeur.
Un exemple pour illustrer :
Faisons l’hypothèse qu’un call expire dans une période de temps et a un prix d’exercice de 50. L’action du portefeuille réplicatif a un prix de 50, aujourd’hui, et ne paie pas de dividendes. Dans une période de temps, le prix de l’action va soit gagner 10, soit perdre 10 et le taux sans risque est 6 %.
L’arbre binomial dans une période est le suivant :

Si dans une période, l’action vaut 60, le call dont le strike est de 50 sera exercé (car spot > strike). Le call a donc une valeur de 60 – 50 = 10. Si au contraire l’action vaut 40, le call n’aura pas de valeur et ne sera par conséquent pas exercé.
Nous appelons ∆ le nombre d’actions achetées et β l’investissement initial dans le bond (obligation au taux sans risque).
Ainsi, on pose deux équations selon nos deux possibilités :
60 ∆ + 1.06 β = 10
40 ∆ + 1.06 β = 0
Soit : 20 ∆ = 10 et ∆ = 0.5
Et : 1.06 β = – 20, soit β = – 18.87
Quelle est la valeur du portefeuille aujourd’hui ?
On pose l’équation finale suivant : (Valeur de l’action aujourd’hui x ∆) + (Bond x β)
Soit : 50 x 0.5 + 1 x (- 18.87) = 6.13
Et si le portefeuille vaut 6.13, alors le call vaut 6.13 !
Voici le schéma qui résume nos opérations :

Afin d’éviter de se creuser la tête pour calculer à chaque fois ∆ et β, voici des équations génériques à appliquer :

Dans notre premier schéma binomial :
Cu = 10
Cd = 0
Su = 60
Sd = 40
Sd∆ = 40 x ∆
1 + Rf = 1.06

Voici un exemple qui applique ces équations. Il s’agit de calculer un put, mais cette fois sur plusieurs périodes.
Il faut savoir que lorsqu’il y a plusieurs périodes, donc plusieurs arbres, commence toujours à partir de la droite, en haut, puis en bas (afin de connaître les Cu et Cd), pour ensuite revenir calculer ∆ et β pour l’arbre de départ.
Ex : Supposons que le prix d’une action est 50. Pendant les deux prochaines années, ce prix va soit augmenter de 20 %, soit diminuer de 10 %. Le taux sans risque est de 3 %. Quel est le prix d’un put (européen) avec un prix d’exercice de 60 dans 2 ans ?
On a l’arbre suivant :

Pour simplifier, les prix pour l’arbre en haut à droite et celui en bas à droite sont respectivement de 3.30 et 13.25 (on calcule d’abord celui du haut, puis celui du bas).
On a donc l’arbre final suivant :

On pose :

Puis l’équation finale : S ∆ + β = 50 x (-0.6633) + 41.84 = 8.68 = Valeur du put à l’instant T !

Le pricing de Black & Scholes
Black & Scholes est un modèle de pricing qui permet de déterminer le prix des options européennes pour des actions sous-jacentes échangées de manière continue. C’est donc une méthode qui se rapproche beaucoup plus du prix réel. Cette technique est dérivée de la méthode binomiale, sauf que le temps entre chaque période est proche de zéro et que le nombre de période devient infiniment plus grand.
Ce modèle s’appuie sur les formules suivantes :
Pour calculer le prix d’un call :

Pour un put :

Et :


Avec : PV(K) = valeur actualisée du strike ; σ = volatilité annuelle ; T = nombre d’années jusqu’à l’expiration de l’option.

Encore une fois, prenons un exemple pour appliquer ces formules :
Une action cotée 12.585 aujourd’hui ne paye pas de dividendes. Quel est le prix d’un call à 45 jours sur cette action si le strike est 12.50, que la volatilité (écart-type) est de 25% par an et que le taux sans risque est 4.38 % ?
Calculons d’abord PV(K) :


Selon les formules exposées précédemment, on a :


Et :


Appliquons maintenant la formule pour un call, à savoir C = SxN(d1) – PV(K)xN(d2) :
= 12.585 x 0.572 – 12.434 x 0.537 = 0.52
Le prix du call aujourd’hui est 0.52 !

Pour lire les N de d1 et de d2, il faut se référer à la table de la loi normale telle que celle-ci :

Note : Pour calculer le prix d’un put ou d’un call dont le sous-jacent est un titre qui paye des dividendes, il suffit de remplacer S (le prix de l’action à l’instant t), par S*, qui correspond à S/(1+q), où q est le taux de distribution du dividende.
Pour l’exemple que l’on a pris, où S = 12.585, si le titre distribuait un dividende de 5%, on aurait dû, au lieu de S, faire nos calculs avec S* = 12.585/(1.05) = 11.986.

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