Dans un précédent article, nous avons très brièvement présenté l’efficient frontier. Cet article a pour but d’entrer un peu plus profondément dans le sujet.
Nous allons aborder l’efficient frontier, la capital market line ainsi que les grandes hypothèses du CAPM (capital asset pricing model, ou MEDAF en Français pour Modèle d’équilibre des actifs financiers).
Le CAPM permet d’estimer le taux de rendement (expected return) attendu d’un actif financier. Pour cela, on ne tient compte que du risque systématique et non du risque spécifique qui peut être diversifié (voir article sur l’équilibre risk-return et sur risque, diversification et bêta).

Pour cela, on doit utiliser une variable qui est le Beta (β). Pour rappel, on calcule le Beta grâce à la formule suivante :

Et le taux de rendement attendu grâce à cette formule :

Soit Taux sans risque + β x prime de risque, la prime de risque équivalent au rendement estimé du marché mois le taux sans risque.

L’Efficient Frontier
L’efficient frontier découle de la théorie du CAPM, qui repose sur 3 grandes hypothèses :
– Les investisseurs peuvent librement acheter et vendre des titres pour des prix compétitifs et des coûts faibles et peuvent emprunter au taux sans risque,
– Les investisseurs ne cherchent à détenir que des portefeuilles efficients, avec le rendement le plus élevé possible pour un taux de risque donné,
– Les investisseurs disposent et anticipent les mêmes informations en termes de volatilité, corrélation et taux de rendement attendu pour les actifs sur le marché.
L’efficient frontier découle également de la notion de portefeuille efficient. Dans un portefeuille efficient, il n’y a aucun moyen de réduire le risque sans réduire le rendement, ni d’avoir un meilleur rendement sans accroître son risque. C’est donc un portefeuille qui donne le meilleur rendement pour un taux de risque donné. Au contraire, dans un portefeuille inefficient, il est possible de trouver un meilleur rapport risque/rendement.
Prenons l’exemple, ci-dessous, d’un portefeuille constitué de trois actifs que sont le titre Coca Cola, Intel et Bore (Source : Pearson) :

La combinaison des 3 actifs fournissent une meilleure courbe (en termes de volatilité et de rendement) que la détention d’intel seul, de Coca seul ou de Bore seul. Aucun de ces titres ne peut apporter un rendement de 6% pour une volatilité de 16%. La courbe rouge retrace, pour tous les niveaux de pondération possibles de ces trois actifs dans le portefeuille, le meilleur rapport entre la volatilité (=risque subi) et le rendement (=return). C’est ce qu’on appelle la frontière efficiente, ou efficient frontier.
Les portefeuilles efficients, c’est-à-dire ceux offrant le meilleur profil possible en termes de rentabilité pour un niveau de risque donné, sont représenté par la région rouge qui est appelée la frontière efficiente pour ces actifs.
Pour dix actifs, voilà quelle sera la frontière efficiente :

Source : Pearson Addison-Wesley, 2007
La frontière efficiente peut être étendue. Pour cela il y a deux solutions supplémentaires, pour deux profils d’investisseurs différents :
Les investisseurs dits « conservateurs », c’est-à-dire ayant une aversion au risque, seront tentés d’ajouter dans leur portefeuille des actifs sans risque, comme des bons du trésor. Ceci diminuera la volatilité mais aura aussi un impact non négligeable sur le rendement.
Les investisseurs plus agressifs pourront quant à eux investir encore plus dans le portefeuille de marché en empruntant de l’argent et ajoutant ainsi un levier à leur position. Ce faisant, la volatilité sera décuplée pour un niveau de rendement supérieur.

Il est possible de calculer le rendement espéré d’un portefeuille, de même que son risque, si l’on connaît le risque et le rendement des actifs qui le composent ainsi que leur pondération dans le portefeuille.
Les formules à connaître sont les suivantes :
>>> Rendement espéré : E[Rxp] = Rf + x[E(Rp) – Rf], soit : taux sans risque + inconnue multipliée par la prime de risque.
>>> Risque attendu : SD[Rxp] = xSD(Rp), soit inconnue : multipliée par la volatilité du portefeuille.

Prenons un exemple pour illustrer. Supposons que nous détenons actuellement un portefeuille qui a un rendement espéré de 10.5% et une volatilité de 8%. Supposons également que le taux sans risque est de 5% et que le portefeuille efficient a un rendement de 18.5% pour une volatilité de 13%. Que devons-nous faire pour diminuer notre risque tout en bénéficiant du même rendement ? Si au contraire on préfère conserver le même risque de 8%, comment pouvons-nous améliorer notre rendement ?
1. Meilleur risque pour le même return :
Appliquons les formules ci-dessus :
E[Rxp]=Rf + x[E(Rp) – Rf] devient : 10.5%=5% + x(18.5% – 5%), donc x = 40.7%
xSD(Rp) devient : 40.7%(13%), donc x = 5.29%
SI l’on investit 40.7% du montant investi actuellement dans notre portefeuille dans le portefeuille efficient, nous bénéficierons d’un rendement de 10.5% pour un risque de 5.29%, soit le meilleur niveau de volatilité pour ce rendement.
2. Meilleur return pour le même niveau de risque :
SD[Rxp]=xSD(Rp) devient : 8% = x(13%), soit x = 61.5%
Rf + x[E(Rp) – Rf] devient : 5% + 61.5%(13.5%) = 13.3%
Pour conserver une volatilité de 8%, si l’on investit 61.5% dans le portefeuille efficient, on pourra bénéficier d’un rendement de 13.3% au lieu de 10.5%, le meilleur rendement possible pour ce niveau de volatilité.

La capital market line
L’efficient frontier ne concerne que le portefeuille de marché. Nous avons vu précédemment que l’on pouvait encore améliorer le profil risque/return d’un portefeuille en en investissant une partie dans un actif sans risque. Ceci constitue la capital market line, c’est-à-dire la combinaison entre le portefeuille de marché et un investissement dépourvu de risque.
Voici la capital market line pour un portefeuille de marché vu précédemment :

Source : Pearson Addison-Wesley, 2007

La capital market line représente le meilleur niveau de rendement possible pour n’importe quel niveau de risque, mesure par la volatilité. C’est le lien entre un taux sans risque (rentabilité >0, risque = 0) et le portefeuille de marché (risque >0).
Les formules du rendement et du risque sont les mêmes que pour l’efficient portfolio, à savoir :
>>> Rendement espéré : E[Rxp] = Rf + x[E(Rp) – Rf]
>>> Risque attendu : SD[Rxp] = xSD(Rp)

Par exemple, si nous avons une action Mc Donald’s qui a un rendement de 9% et une volatilité de 27%, un taux sans risque de 4% et un portefeuille de marché qui a un rendement de 10% pour un risque de 16%, quel portefeuille aura le même rendement que l’action Mc Donald’s seule pour une volatilité inférieure et quel portefeuille aura la même volatilité que Mc Donald’s seule mais avec un rendement amélioré ?
1. Même rendement, meilleure volatilité :
E[Rxp]=Rf + x[E(Rp) – Rf] devient : 9%=4% + x(10%-4%), soit x = 83.33%
xSD(Rp) devient : 83.33%(16%) = 13.3%
Donc en investissant 83.33% de la somme dans le portefeuille de marché et en investissant la différence dans l’actif sans risque, on pourra répliquer le rendement de Mc Donald’s pour une volatilité nettement inférieure 13.3% vs. 27%.
2. Même volatilité, meilleur rendement :
SD[Rxp]=xSD(Rp) devient : 27%= x(16%), soit x = 168.75%
Rf + x[E(Rp) – Rf] devient : 4% + 1.6875(10%-4%) = 14.1%
Donc en investissant 168.75% de la somme (en augmentant l’investissement ou en empruntant) dans le portefeuille de marché, on pourra répliquer la volatilité de Mc Donald’s seul mais avec un rendement de 14.1%, meilleur que les 9% de Mc Donald’s seul.
Graphiquement, voici comment se traduisent ces calculs :

Quelques ratios importants

1/ Le ratio de Sharpe
Le ratio de Sharpe mesure la performance d’un portefeuille par rapport à son risque total :
Sharpe ratio = >>> soit la différence entre le rendement du portefeuille et le taux sans risque (prime de risque), divisée par la volatilité du portefeuille.
Le ratio de Sharpe mesure la compensation des investisseurs face au risque qu’ils prennent. Rp doit donc est supérieur au taux sans risque, Rf. Plus Rp est grande par rapport à σp (la volatilité), mieux c’est pour l’investisseur. Cependant, il y a des limites : la volatilité est certes une mesure de risque importante, mais seul le risque systématique est pricé et non le risque spécifique qui peut être diversifié (rappel : la volatilité, ou risque total, est constituée du risque spécifique de l’actif en question et du risque systématique qui affecte tous les actifs sur le marché).

2/ Le ratio de Treynor
Le ratio de Treynor mesure aussi la performance d’un portefeuille, mais par rapport au Beta (donc uniquement par rapport au risque systématique). C’est une amélioration du ratio de Sharpe.
Treynor ratio = 

3/ Le M Squared (M²)
Cette mesure fut mise au point par Franco Modigliani et sa petite fille, Leah Modigliani (d’où son nom, M²). C’est une extension du ratio de Sharpe, basée sur le risque total (et non le Beta). Elle permet de voir si le portefeuille surperforme le profil risque/return du marché, le sous-performe, ou bien est conforme aux mesures. M² mesure donc le rendement du portefeuille, ajusté par le risque du portefeuille, par rapport à un benchmark (par exemple, le marché).

4/ L’alpha de Jensen
Comme le ratio de Treynor, l’alpha de Jensen se base uniquement sur le risque systématique. Il mesure la différence entre le rendement effectif d’un portefeuille et son rendement attendu par le marché.

Si un portefeuille dégage de l’alpha positif, il apporte donc un rendement supérieur par rapport à son risque. Si l’alpha est négatif, les investisseurs sont en quelques sortes lésés par rapport au risque couru. Il faut donc acheter des portefeuilles ou des titres qui dégagent de l’alpha positif, et vendre ceux qui ont un alpha négatif.

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