Cet article traite d’un sujet hautement théorique mais qui a fait couler des litres d’encre et fait réfléchir de très nombreux économistes et opérateurs de marché. Ce sujet peut se résumer de la manière suivante : existe-t-il un portefeuille optimal, comment le fabriquer, de quoi est-il composé, peut-on minimiser le risque tout en optimisant la rentabilité ? Nous le traiterons sur plusieurs articles.
Bien que ces questions ne soient pas encore entièrement traitées, on dispose aujourd’hui de quelques éléments de réponse.
Tout d’abord, il faut clarifier quelques points. Pour commencer, le calcul de la rentabilité d’un portefeuille (return) exige de procéder en deux étapes. Premièrement, il faut connaître le return de tous les actifs qui composent le portefeuille. Ensuite, il faudra pondérer ce return dans le portefeuille. Chaque actif se verra donc appliqué une pondération qui lui est propre. Cette pondération se calcule par l’équation suivante :

Il s’agit donc simplement de savoir quel pourcentage chaque actif occupe dans l’ensemble du portefeuille, au milieu des autres actifs.
Une fois que les pondérations sont connues, on va appliquer chaque pondération au return de l’actif qui lui est associé. On a la formule suivante :

La rentabilité globale du portefeuille est donc la somme des returns pondérés de chaque actif qui le compose.
Nous avons vu que le Beta permettait de mesurer la sensibilité d’un actif par rapport au marché. On utilise aussi d’autres mesures, plus décriées (car elles tiennent compte du risque global, c’est-à-dire à la fois le risque systématique et le risque spécifique, alors que le Beta ne price que le risque systématique puisque le risque spécifique peut s’éliminer à travers la diversification).
La covariance et le coefficient de corrélation font partie de ces mesures, qui impactent directement la qualité de la diversification.
Covariance : 
La covariance est donc la moyenne du produit des écarts entre les rentabilités d’un actif par rapport à leur moyenne. Pour un échantillon, la formule reconnue est :

Il s’agit de la même formule, sauf que la pondération pour calculer la moyenne se fait avec un différentiel de 1.

Coefficient de corrélation : 
Cette formule est simple, il s’agit du quotient de la covariance sur le produit des écarts type des deux actifs. Le coefficient de corrélation est toujours compris entre -1 et 1, -1 étant une corrélation parfaitement négative (les deux actifs se comportent de manière contraire), 1 étant une corrélation parfaitement positive (les deux actifs évoluent de manière identique) et 0 étant l’absence de corrélation (les deux actifs évoluent de manière totalement aléatoire). Le schéma suivant est plus parlant :

L’exemple ci-dessous permet d’appréhender plus facilement ces concepts qui peuvent paraître complexes de prime abord, mais qui avec un tout petit peu de pratique se montrent simples.

A quoi servent ces mesures ?
Tout simplement à évaluer la qualité de la diversification. Pour diversifier un portefeuille, il ne suffit pas de sélectionner une multitude d’actifs. Si tous les actifs se comportent de la même manière face aux aléas macroéconomiques, la diversification n’est d’aucun effet. La qualité de la diversification, au contraire, est évaluée en mesurant la manière dont les actifs se comportent les uns par rapport aux autres, d’où l’intérêt des mesures de corrélation.
« When markets fail totally, diversification is a false promise ».
Pour bien diversifier, il faut donc clairement des actifs qui vont, de par une corrélation négative, amoindrir mutuellement leur risque spécifique au sein d’un portefeuille. Et donc éviter de choisir des actifs du même secteur, ce qui peut sensiblement atténuer la diversification.

Il existe des formules pour mesurer grossièrement la variance et la volatilité (écart type / standard deviation), qui se basent sur les outils présentés plus haut.
Pour un portefeuille constitué de deux actifs, la variance peut se calculer par la formule suivante :

Les x représentent les pondérations pour chaque actif au sein du portefeuille.
Par exemple pour un actif 1 qui représente 40% du portefeuille et pour un actif 2 qui en représente 60%, avec une variance de 1 de 35%, une variance de 2 de 26% et une covariance des deux actifs pour 76%, on obtient : 0.4² x 35% + 0.6² x 26% + 2 x 0.4 x 0.6 x 76% = 51.4%
Une autre formule existe, avec cette fois les covariances qui entrent en jeu :

Pour obtenir l’écart type, il suffit de poser la racine carrée de la variance calculée.

Enfin, de la même manière, la variance d’un portefeuille est égale à la somme pondérée des covariances de chaque actif avec le portefeuille :

Pour conclure, en attendant un article sur la frontière efficiente, voici la traduction de différents niveaux de corrélation sur un portefeuille constitué de deux actifs, au sein d’un graphique à double entrée mesurant le risque (volatilité, par l’écart type) et la rentabilité :


Les corrélations sont de -1, -0.5, 0, 0.5 et 1. On voit nettement que plus la corrélation est faible et négative, plus le risque est amoindri (avec la volatilité du portefeuille qui se décale vers la gauche). De la même manière, la rentabilité est également plus faible que si l’on avait investi dans Intel seul, mais elle reste plus élevée que si l’on avait investi dans Coca seul. On a donc une meilleure rentabilité que pour Coca uniquement, pour un risque bien plus faible. Voilà les vertus de la diversification. Et plus le portefeuille contient d’actifs, plus on peut se rapprocher du niveau qui maximise la rentabilité tout en minimisant le risque. C’est à chaque investisseur de choisir son niveau mais il existe un niveau pour lequel on ne pourra pas avoir moins de risque pour la même rentabilité et également pour lequel on ne pourra obtenir une meilleure rentabilité sans davantage de risque.

C’est ce qu’on appelle la frontière efficiente (efficient frontier).

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